$x^2+(a+9)x+a^2+2a=0$
$D=b^2-4ac=(a+9{)}^2-4\ast 1\ast (a^2+2a)=a^2+18a+81-4a^2-8a=-3a^2+10a+81$
квадратное уравнение имеет корни при D ≥ 0, тогда:
$-3a^2+10a+81\ge 0$
по условию:
$x_1{x}_2=15$
по теореме Виета:
$x_1{x}_2=c$
$x_1{x}_2=a^2+2a$
$a^2+2a=15$
$a^2+2a-15=0$
$D=b^2-4ac=2^2-4\ast 1\ast (-15)=4+60=64>0$
$a_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-2+\sqrt{64}}{2\ast 1}=\frac{-2+8}{2}=\frac{6}{2}=3$
$a_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-2-\sqrt{64}}{2\ast 1}=\frac{-2-8}{2}=\frac{-10}{2}=-5$
проверим условие, что $-3a^2+10a+81\ge 0$:
при a = 3:
$-3\ast 3^2+10\ast 3+81=-3\ast 9+30+81=-27+111=84\ge 0$
при a = −5:
$-3\ast (-5{)}^2+10\ast (-5)+81=-3\ast 25-50+81=-75+31=-44<0$ − не удовлетворяет условию.
Ответ: при a = 3