Докажите обратное утверждение для каждого признака делимости.

reshalka.com

Алгебра 7 класс Никольский. 1. Делимость чисел. Номер №176

Решение

Обратное утверждение для признака делимости на 2:
Если число

a = \bar{a_{n} . . . a_{2} a_{1} a_{0}}

делится на 2, то его последняя цифра делится на 2.

a = \bar{a_{n} . . . a_{2} a_{1} a_{0}} = a_{n} * 10^{n} + . . . + a_{2} * 10^{2} + a_{1} * 10 + a_{0} = a_{n} * 10...0 + . . . + a_{2} * 100 + a_{1} * 10 + a_{0} = a_{n} * (10^{n - 1} * 10) + . . . + a_{2} * (10 * 10) + a_{1} * 10 + a_{0} = 10 * (10^{n - 1} * a_{n} + . . . + 10 * a_{2} + a_{1}) + a_{0}

− первое слагаемое делится на 2, так как 10 = 2 * 5 и сумма, равная числу a по условию делится на 2, значит и второе слагаемое

a_{0}

− делится на 2, так как сумма четных чисел число четное.
Утверждение доказано.

Обратное утверждение для признака делимости на 3:
Если число

a = \bar{a_{n} . . . a_{2} a_{1} a_{0}}

делится на 3, то сумма его цифр делится на 3.

a = \bar{a_{n} . . . a_{2} a_{1} a_{0}} = a_{n} * 10^{n} + . . . + a_{2} * 10^{2} + a_{1} * 10 + a_{0} = a_{n} * 10...0 + . . . + a_{2} * 100 + a_{1} * 10 + a_{0} = a_{n} * (99...9 + 1) + . . . + a_{2} * (99 + 1) + a_{1} * (9 + 1) + a_{0} = 99...9 * a_{n} + a_{n} + . . . + 99 * a_{2} + a_{2} + 9 * a_{1} + a_{1} + a_{0} = 3 * (33...3 * a_{n} + . . . + 33 * a_{2} + 3 * a_{1}) + (a_{n} + . . . + a_{2} + a_{1} + a_{0})

− так как первое слагаемое делится на 3 и сумма, равная числу a по условию делится на 3, то и второе слагаемое делится на 3.
Утверждение доказано.

Обратное утверждение для признака делимости на 9:
Если число

a = \bar{a_{n} . . . a_{2} a_{1} a_{0}}

делится на 9, то сумма его цифр делится на 9.

a = \bar{a_{n} . . . a_{2} a_{1} a_{0}} = a_{n} * 10^{n} + . . . + a_{2} * 10^{2} + a_{1} * 10 + a_{0} = a_{n} * 10...0 + . . . + a_{2} * 100 + a_{1} * 10 + a_{0} = a_{n} * (99...9 + 1) + . . . + a_{2} * (99 + 1) + a_{1} * (9 + 1) + a_{0} = 99...9 * a_{n} + a_{n} + . . . + 99 * a_{2} + a_{2} + 9 * a_{1} + a_{1} + a_{0} = 9 * (11...1 * a_{n} + . . . + 11 * a_{2} + a_{1}) + (a_{n} + . . . + a_{2} + a_{1} + a_{0})

− так как первое слагаемое делится на 9 и сумма, равная числу a по условию делится на 9, то и второе слагаемое делится на 9.
Утверждение доказано.

Обратное утверждение для признака делимости на 4:
Если число

a = \bar{a_{n} . . . a_{2} a_{1} a_{0}}

делится на 4, то две последние цифры образуют число

\bar{a_{1} a_{0}}

, которое делится на 4.

a = \bar{a_{n} . . . a_{2} a_{1} a_{0}} = a_{n} * 10^{n} + . . . + a_{2} * 100 + a_{1} * 10 + a_{0} = 100 * (a_{n} * 10^{n - 2} + . . . + a_{2}) + a_{1} * 10 + a_{0} = 25 * 4 * (a_{n} * 10^{n - 2} + . . . + a_{2}) * \bar{a_{1} a_{0}}

− так как первое слагаемое делится на 4, и сумма, равная числу a по условию делится на 4, то и второе слагаемое делится на 4.
Утверждение доказано.

Обратное утверждение для признака делимости на 5:
Если число

a = \bar{a_{n} . . . a_{2} a_{1} a_{0}}

делится на 5, то оно оканчивается цифрой

a_{0}

, которая делится на 5.

a = \bar{a_{n} . . . a_{2} a_{1} a_{0}} = a_{n} * 10^{n} + . . . + a_{2} * 100 + a_{1} * 10 + a_{0} = 10 * (a_{n} * 10^{n - 1} + . . . + a_{2} + a_{1}) + a_{0} = 5 * 2 * (a_{n} * 10^{n - 1} + . . . + a_{2} + a_{1}) + a_{0}

− так как первое слагаемое делится на 5, и сумма, равная числу a по условию делится на 5, то и второе слагаемое делится на 5.
Утверждение доказано.

Обратное утверждение для признака делимости на 10:
Если число

a = \bar{a_{n} . . . a_{2} a_{1} a_{0}}

делится на 10, то оно оканчивается цифрой

a_{0} = 0

a = \bar{a_{n} . . . a_{2} a_{1} a_{0}} = a_{n} * 10^{n} + . . . + a_{2} * 100 + a_{1} * 10 + a_{0} = 10 * (a_{n} * 10^{n - 1} + . . . + a_{2} + a_{1}) + a_{0}

− так как первое слагаемое делится на 10, и сумма, равная числу a по условию делится на 10, то и второе слагаемое делится на 10, а значит оканчивается цифрой 0.
Утверждение доказано.

Обратное утверждение для признака делимости на 11:
Если число

a = \bar{a_{5} . . . a_{2} a_{1} a_{0}}

делится на 11, то

\bar{a_{0} - a_{1} + a_{2} - a_{3} + a_{4} - a_{5}}

делится на 11.

a = \bar{a_{5} . . . a_{2} a_{1} a_{0}} = a_{5} * 10^{5} + . . . + a_{2} * 10^{2} + a_{1} * 10 + a_{0} = a_{5} * 10...0 + . . . + a_{2} * 100 + a_{1} * 10 + a_{0} = a_{5} * (10001 - 1) + . . . + a_{2} * (99 + 1) + a_{1} * (11 - 1) + a_{0} = 10001 * a_{5} - a_{5} + . . . + 99 * a_{2} + a_{2} + 11 * a_{1} - a_{1} + a_{0} = 11 * 909 * a_{5} + . . . + 11 * 9 * a_{2} + 11 * a_{1} + (- a_{5} + a_{4} - a_{3} + a_{2} - a_{1} + a_{0}) = 11 * (909 * a_{5} + . . . + 9 * a_{2} + a_{1}) + (a_{0} - a_{1} + a_{2} - a_{3} + a_{4} - a_{5})

− так как первое слагаемое делится на 11, и сумма, равная числу a по условию делится на 11, то и второе слагаемое делится на 11.
Утверждение доказано.

Обратное утверждение для признака делимости на 125:
Если число

a = \bar{a_{n} . . . a_{3} a_{2} a_{1} a_{0}}

делится на 125, то

\bar{a_{2} a_{1} a_{0}}

(при

a_{1} \neq 0

) делится на 125, или

a_{2} = a_{1} = a_{0} = 0

a = \bar{a_{n} . . . a_{3} a_{2} a_{1} a_{0}} = a_{n} * 10^{n} + . . . + a^{3} * 1000 + \bar{a_{2} a_{1} a_{0}} = 1000 * a_{n} * 10 n - 3 + . . . + a_{3} * 1000 + \bar{a_{2} a_{1} a_{0}} = 1000 * (a_{n} * 10^{n - 3} + . . . + a_{3}) + \bar{a_{2} a_{1} a_{0}} = 125 * 8 * (a_{n} * 10^{n - 3} + . . . + a_{3}) + \bar{a_{2} a_{1} a_{0}}

− так как первое слагаемое делится на 125, и сумма, равная числу a по условию делится на 125, то и второе слагаемое делится на 125.
Утверждение доказано.

Обратное утверждение для признака делимости на 8:
Если число

a = \bar{a_{n} . . . a_{3} a_{2} a_{1} a_{0}}

делится на 8, то

\bar{a_{2} a_{1} a_{0}}

(при

a_{1} \neq 0

) делится на 8, или

a_{2} = a_{1} = a_{0} = 0

a = \bar{a_{n} . . . a_{3} a_{2} a_{1} a_{0}} = a_{n} * 10^{n} + . . . + a^{3} * 1000 + \bar{a_{2} a_{1} a_{0}} = 1000 * a_{n} * 10 n - 3 + . . . + a_{3} * 1000 + \bar{a_{2} a_{1} a_{0}} = 1000 * (a_{n} * 10^{n - 3} + . . . + a_{3}) + \bar{a_{2} a_{1} a_{0}} = 8 * 125 * (a_{n} * 10^{n - 3} + . . . + a_{3}) + \bar{a_{2} a_{1} a_{0}}

− так как первое слагаемое делится на 8, и сумма, равная числу a по условию делится на 8, то и второе слагаемое делится на 8.
Утверждение доказано.

Обратное утверждение для признака делимости на 125:
Если число

a = \bar{a_{n} . . . a_{2} a_{1} a_{0}}

делится на 25, то

\bar{a_{1} a_{0}}

(при

a_{1} \neq 0

) делится на 25, или

a_{1} = a_{0} = 0

a = \bar{a_{n} . . . a_{2} a_{1} a_{0}} = a_{n} * 10^{n} + . . . + a_{2} * 100 + \bar{a_{1} a_{0}} = 100 * a_{n} * 10^{n - 2} + . . . + a_{2} * 100 + \bar{a_{1} a_{0}} = 100 * (a_{n} * 10^{n - 2} + . . . + a_{2}) + \bar{a_{1} a_{0}}

− так как первое слагаемое делится на 25, и сумма, равная числу a по условию делится на 25, то и второе слагаемое делится на 25.
Утверждение доказано.

ГДЗ Алгебра 7 класс Никольский, Потапов, Решетников, Шевкин

Алгебра 7 класс Никольский. 1. Делимость чисел. Номер №176

Алгебра 7 класс Никольский. 1. Делимость чисел. Номер №176

Решение